音乐与数学的关系

2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。尔后，他又在琴弦上做试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。他继而发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。千百年来，研究音乐和数学的关系在西方一直是一个热门的课题，从古希腊毕达哥拉斯学派到现代的宇宙学家和计算机科学家，都或多或少受到“整个宇宙即是和声和数”的观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人都潜心研究过音乐与数学的关系。数学几何与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀更留下“数还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯（1933~）创立“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类乎数学公式，如《 S+/10-1.080262 》为10件乐器而作，是1962年2月8日算出来的。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”（读和看的音乐）的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。

数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，它早已从一门计数的学问变成一门形式符号体系的学问。符号的使用使数学具有高度的抽象。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。数学给人的印象是单调、枯燥、冷漠，而音乐则是丰富、有趣，充溢着感情及幻想。表面看，音乐与数学是“绝缘”的，风马牛不相及，其实不然。德国著名哲学家、数学家莱布尼茨曾说过：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”数学是以数字为基本符号的排列组合，它是对事物在量上的抽象，并通过种种公式，揭示出客观世界的内在规律：而音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然音响的抽象，并通过联系着这些符号的文法对它们进行组织安排，概括我们主观世界的各种活动罢了，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起，它们都是通过有限去反映和把握无限。

数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间。音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花。有了这两朵花，就可以把握人类文明所创造的精神财富。被称为数论之祖的希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”世界上哪里有数，哪里就有美。数学像音乐及其它艺术能唤起人们的审美感觉和审美情趣。在数学家创造活动中，同样有情感、意志、信念、冀望等审美因素参与，数学家创造的概念、公理、定理、公式、法则如同所有的艺术形式如诗歌、音乐、绘画、雕塑、戏剧、电影一样，可以使人动情陶醉，并从中获得美的享受。

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古希腊欧几里德在《几何原本》所建立的几何体系，谌称为“雄伟的建筑”，“庄严的结构”，“巍峨的阶梯”。它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁神曲中的诗句，黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美。当你读到某函数可演算为无穷级数形式的时候，你的胸坎顿时也会充满一种人与天地并立的浩然之气。当你面对圆周率Л=3.141592653……时，也许不会引起你的任何美感，但是当你知道这个数表示一切你所见到的和未见到的，小至墨水瓶盖大至一个星球之圆形的周长与直径之比值时，你会为之赞叹！无穷级数的和谐和对称性就具有一种崇高美，读它就像读一首数学诗，它仿佛是漂浮在蔚兰天空的一片白云，无边无际。犹如宋朝朱敬儒的名句所道出的境界：“晚来风定钓丝闲，上下是新月。千里水天一色，看孤鸿明灭。”
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反观数之美也蕴含于音乐艺术之中，验证了莱布尼茨的名言：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”众所周知，古今中外的音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是神奇数字：
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数字1 万物之本。《老子》云：“道生一、一生二、二生三、三生万物。”整个宇宙就是一个多样统一的和谐整体。这也是一条美感基本法则，适用于包括音乐在内的所有艺术及科学之中。古希腊数学家尼柯玛赫早就提出“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”简言之，便是“一”变“多”，“多”变“一”的原理。中国俗语也说：“九九归一”。文艺复兴时期以来五百年的专业音乐在内容上和形式上尽管存在天壤之别，但都共同遵循这个原理。音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。

# o; F7 z; V# H数字2 巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistic theory）。

3 R' l" W6 U( K" x数字3 三个音按三度音程叠置成为各种各弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。”数字“2”与“3”在音乐中概括了最基本的节拍类型二拍子与三拍子以及曲式类型二段式三段式；T2=D3是开普勒行星运动第三定律的数学公式，表示行星公转周期（T）的二次方与它同太阳距离（D）的三次方相等。开普勒从大量十分零乱的观测资料中发现了这个自然规律，它是那样简洁、优美，被人称为奇妙的“2”与“3”。T2=D3令人感到一种多么简洁的美感！
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) J& P0 o" M  d" N# J数字4 人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4…… ，4小节为一乐句，8小节为一乐段。
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数字5 五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。

数字6 六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。
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+ `3 p( p% b* b' ~$ w数字7 更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成，以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥妙的对应关系进行过有趣的探索。人体生理结构分为七大系统。旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天。就连神话中的牛郎织女也选“七夕”（农历七月初七晚上）来相会。化学元素是物质世界的基础，门捷列夫发现的“元素周期表”的结构图中有七个横行，七个周期，还有七个主族，七个副族。
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任何空间物体、图形都可以简化、抽象为点 — 线 — 面 — 体几何图形，显示出数理统一与和谐的美。同样任何钢琴作品也可据此进行简化和抽象。例如：横向时间系列分为乐句 — 乐段 — 乐章 — 套曲；纵向空间系列分为音级 — 音程 — 和弦 — 和声；钢琴织体层次分为单音一单声部一声部层（或伴奏层）织体类型。

某些数列广泛地应用于音乐之中，如等比数列1、2、4、8、16、32用于音符时值分类及音乐曲式结构中；菲波那齐数列用于黄金分割及乐曲高潮设计中。 菲波那齐是13世纪意大利数学家，他于1228年提出一个兔子繁殖数问题：“如果有一对小兔，两个月后就能生，每月生一对，生下来的小兔也是如此，如果都不死，一年以后有多少对？”打从那以后，人们越来越注意这个数学题的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这便是奇妙的菲波那齐数列。这个整数列有三个特点：（1）任何相邻两个数，其第一个数与第二个数的比值约等于0.618，相邻两个数的位置越靠后，比值越接近，称为黄金比率。（2）任何相邻三个数，其中前两个数之和等于第三个数，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此类推。（3）任何相邻三个数，其中第一个数和第三个数的乘积与第二个数的平方相差1。
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! i# ?0 d( |! ]从自然界到日常生活处处都存在菲波那齐数列，存在黄金比率。某些花的花瓣数是菲波那齐数：水仙花3瓣，金凤花5瓣，翠雀花8瓣，金盏花13瓣，紫苑花21瓣，雏菊花34，55或89瓣，向日葵的花盘上面有21个顺时针旋形与34个逆时针旋形；在动物中还可以发现一些软体动物的甲壳花纹、昆虫翅膀对的数目在一定程度上符合这个数列；一些无机物质的原子排列、分子的缔合形式也与这个数列接近。人体最理想的比例（最靓的身材）应是上半身及下半身（以肚脐为界）的比值与黄金比率相吻合，例如一个模特的身高为1.618米，则上半身为0.618米，下半身为1米。如果再细分，上半身的黄金点在咽喉，面部的黄金点是眼睛，下半身的黄金点在膝盖。

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建筑物廊柱间的比例，绘画、摄影构图地平线的分割，主体在画幅中的位置，一本书长与宽的比例如果符合黄金比率的话就显得美，如果改为1：1则显得呆板，单调。文学、戏剧与诗歌写作中的起、承、转、合原则，所谓“转”便是转折、对比，是写作的关键所在。“转”在整个结构部位中接近黄金分割点。 菲波那齐数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那齐数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。
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如《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。每段又由等长的两个4小节乐句构成。全曲共分6句，24小节。理论计算黄金分割点应在第14小节（24*0.618=14.83），与全曲高潮正好吻合。有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的六个乐句在各自的第2小节进行负相分割（前短后长）；本曲的三个部分A、B、Aˊ在各自的第二乐句第2小节正相分割（前长后短），这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面，使乐曲的内容与形式更加完美。大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位置在中部或发展部越靠后，甚至推迟到再现部的开端，这样可获得更强烈的艺术效果。如莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160*0.618=98.88）。据美国数学家乔巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。然而美国的另一位音乐家认为，“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”
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贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。
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: C! {2 q$ h4 G: i1 C9 H& D: F肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。

1 l: a1 X4 t) {7 @  v4 v4 v/ j2 \! \拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗。第一部分呈示部悠长、刚毅的主部与明朗、抒情的副部形成鲜明对比。第二部分为发展部，结构紧凑，主部、副部与引子的材料不断地交织，形成巨大的音流，音乐爆发高潮的地方恰恰在第三部分再现部的开端，是整个乐章的黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。此外这首协奏曲的局部在许多地方也符合黄金比例。
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5 q4 Y2 e9 ]( ^5 [$ z3 l: g' u再举一首大型交响音乐的范例，俄国伟大作曲家里姆斯－柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了六小节，随着它的音响逐渐消失，整个乐队力度迅速下降，象征着那艘支离破碎的航船沉入到海底深渊。在全曲最高潮也就是“黄金点”上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。

黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。世界上到处都存在数的美，对于我们的眼睛，尤其是对我们学习音乐的人的耳朵来说，“美是到处都有的，不是缺乏美，而是缺少发现”（罗丹语）。