音乐里的音高是如何确定的？ ——从0乐理到“五度相生律”

说道do re mi fa sol la si大家基本都能像模像样地唱出来，但是有些人死活唱不准，我们会说他“五音不全”。为什么会觉得他唱的不准呢？关键在于音高掌握的不准。比如有些人在KTV里高音部分会破音，也是如此，音准偏了或者目标音高超出了自己音域，就破了音。
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: t+ a2 l! o. x+ h' {“乐律”，乐律用一定的数理规律规定了一系列的音高，这些音高称作“律”，当然一首曲子中一般不会把所有的律都用到的。把这些个“律”取出一部分来就会构成“音阶”，比如“五声音阶”、“七声音阶”、“六声音阶”等等，分别说明这些音阶里用到了五个律、七个律、六个律等等。特别的有“全音阶”，是一种特殊的六声音阶，每个音之间的关系都是全音，用简谱可记做1 2 3 #4 #5 #6，还有“半音阶”，就是按照十二个半音排列的音阶。
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这些数理规律是怎么得来的？又该如何计算出各个律的音高？
) d7 m  K8 Y" l) ?3 m( c0 k这得从最初广泛应用的“五度相生律”或者“三分损益率”开始说起。不过在这之前，为了我们现在更方便理解律，我们还得引入更多的后起的乐理和律学概念。
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钢琴键盘上一共有88个键，可以发现它们是按照一定规律排列的。下图可以认为是一个最小的循环单位：


给这些音人为规定了名字，依次为CDEFGAB。但是键盘上CDEFGAB有好几组，显然这一组名字是不够用的。因此又人为规定了距离键盘锁最近的那个C记为c1，读作小字一组C；小字一组c右边的C记做c2，读作小字二组C；依此类推。c1左边的的C记做c，读作小字组c；小字组c左边的C记做C，读作大字组C；大字组C左边的C记做C1，读作大字一组C；依此类推。当然音名也不是无极限的，音乐中一般就用到88个乐音。音名对应如下：
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同音名的音听起来很相似，这一点是律制的基础。
以上说的全部是白键的名称，黑键的名称又是什么？为此，还得引入一些概念：半音和全音以及音分。
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& `/ h2 _  f! B8 m半音、全音、音分和变化音名
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半音是现代音乐里最小的乐音距离。下图所示：
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图中的十二个键，其实就是钢琴所用的律制里面的十二个律。每两个律之间的关系是半音，隔一个律则是全音。比如C-D之间有一个黑键是全音，E-F之间没有黑键是半音。CDEFGAB这些称作自然音名。白键和黑键之间永远都是半音关系。为了更精细的测量音高，把半音又分成了一百等分，每一个等分称作1音分。一个全音就相当于200音分。
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在钢琴上（在别的乐器上就不一定了哦，原因后述）把C升高100音分就会得到C和D之间的黑键，记做♯C（从哪个音变过来的，就记哪个音，读作升C）；把D降低100音分也会得到C和D之间的黑键，记做♭D（从D降低的，所以记D，读作降D）。即在钢琴上♯C等于♭D。

在钢琴上，如果把C升高一个全音，就会得到D，记做 ♯♯C（读作重升C，由于Arial Unicode目前还不支援重升号，后面的重升都用♯♯代替）。如果把D降低一个全音，就会得到♭♭C，记做♭♭D（读作重降D，由于Arial Unicode目前还不支援重降号，后面的重降都用♭♭代替，实际上重降号要紧凑一些）。这样，钢琴的键盘都会有不止一个名字，以大字组键为例如下图（黑色的代表黑键，白色的代表白键）：
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/ K: M6 r9 G7 e- j6 W这样，钢琴上的每一个键盘都有其固定多个的名称。C可以记做♯B1和♭♭D，，表示同一个音高，称作为等音，但是在音乐上的意义不一样。加了升降号的音名称作为变化音名。

自然大调和音程
音程这一个概念首先是建立于七声音阶的自然音阶的，所谓自然音阶，指的是西方的自然大调和自然小调。自然大调音阶中相邻的两个音是“全音 全音 半音 全音 全音 全音 半音”的关系，当C作为自然大调的主音（主音就是乐曲中最稳定的音，具体请参考乐理的其余部分）（以大字组为例），上行音阶就是C-D-E-F-G-A-B-c；当D作为主音的时候，上行音阶是D-E-♯F-G-A-B-♯c-d；当♭D作为主音的时候，上行音阶就是♭D-♭E-F-♭G-♭A-♭B-c-♭d；其余可以依此类推。需要注意的是，在自然大调和自然小调中，升降号不能同时出现，且CDEFGAB是不可以重复的（结束的主音除外）。关于自然小调的内容请参考其余乐理。
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$ @! Q, a6 t3 G3 E" j9 Z% B在自然大调的基础之上，我们可以来认识音程。音程是指乐音体系中音和音高低关系。把低音称作根音，把高音（也有可能和根音一样高）称作冠音。它的度量单位是度。一度即根音和冠音之间只有一个音，二度即根音冠音之间有两个音……


C-C之间没有别的音，记做纯一度；C-#C之间是半音，但是都是C音，记做增一度；C-D之间是全音，但是有CD两个音，记做大二度；B1-C之间是半音，有BC两个音记做小二度。

比较重要的音程有纯八度，纯一度，纯四度，纯五度。纯八度即相邻的两个同音名的音之间的关系，如C-c，D-d等等；纯一度即根音与冠音相同的音之间的关系，如g-g等等；纯五度即有7个半音的五度关系，如C-G，G-d，d-a等等；纯四度即有5个半音的四度关系，如C-F，B-e等等。其余音程可参考其余乐理。

泛音和基音
我们听到的乐器的发出来的乐音，都是由振动产生的。虽然我们能明确地感受到音高，但是它却是由一串音构成的，这些音的频率是按照等差数列排列的，比如听到一个110Hz的音，其实伴随着的还有220Hz，330Hz，440Hz，550Hz，660Hz……一系列的音，这些伴随着的音是如何产生的？

同一根弦，其有效弦长与发音频率成反比。比如一个弦发音是110Hz，那么把它切一半，就会是220Hz；如果只剩最初的三分之一，那么就是330Hz；如果只剩最初的三分之二，那么就是165Hz。发音为110Hz的弦在振动的时候，不仅仅整根弦在振动使其发出了我们感觉到的110Hz的音，以其各等分点为界的弦也在各自振动，分别产生了220Hz、330Hz、440Hz、550Hz、660Hz这一系列的音，这些音分别称作第一泛音、第二泛音、第三泛音……。但是由于这些泛音实在是太弱了，我们很少能感觉到它们的音高。可以通过一些人工的办法得到这些泛音。比如使劲弹a1（位于中央C右边的第五个白键），在音的尾声，你就能稍微感觉到a2，甚至能感觉到e3。
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110Hz的音和220Hz的音听起来极其相似（110Hz是A,220Hz是a，大家可以在键盘上试试），以至于有时候都无法判断哪个高哪个低，甚至认为它们是同一个音都是有可能的。这两个音之间的关系现代乐理里面称作为“极完全协和音程”，音程为“纯八度”。也就是说纯八度关系其实是冠音和根音的频率比是1:2，那么弦长之比就是2:1。各种纷繁复杂的乐律都是以纯八度这个音程为基础的。
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- r) h3 F! Q' \220Hz的音和330Hz的音衔接起来也很悦耳，这个音程关系现在称作为“完全协和音程”，音程为“纯五度”,根音冠音频率之比为2:3，弦长之比为3:2。440Hz的音由于和220Hz的音听起来很相似，所以它和330Hz的音衔接起来也很悦耳，它们之间也是“完全协和音程”，音程为“纯四度”，根音冠音频率之比为3:4，弦长之比为4:3。（度的概念的产生其实要远远晚于音律的出现，并不是说一开始这些音程就被称作为这些名字，只是借用一下概念，以和有乐理知识的同学搭桥。）可以发现，这些纯音程的频率之比是最简单的自然整数比。

/ s. w/ D7 P/ ~古代生律法所用的长度比例，都是一些简单整数比，也就是因为这个原因：当两音的音程关系符合泛音列中占优势的音程关系时，才使人感到和谐，古代选作生律法依据的就是这样一些协和音程。这一原理虽然迟至17世纪才由法国音乐理论家梅尔塞讷所发现。

- V- U  `, q/ C4 l& K" H$ ^' P五度相生律
五度相生律的计算就是在“极完全协和音程”纯八度和一个“完全协和音程”纯五度中展开的。当然一开始的时候，还是在弦乐器上提出来的。
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- j% S; x9 n7 I) g6 R3 h. Z1 s毕达哥拉斯学派认为弦长比分别为2：1、3：2、4：3时发出的音都是极其完美的，也就是我们上面提到的纯八度、纯五度、纯四度。他们把纯八度和纯五度作为生律的关键。五度相生律以一个音为基础（假定其弦长为1），连续向上向下两个方向同时生律（向上即弦长缩短为前一个音的2/3，音提高纯五度；向下则是弦长增长至前一个音的3/2，音则降低纯五度），这样就会得到一个等比数列如下表（最后一行是假设基础音为C或c4，生律的结果，需要指出的是毕达哥拉斯时代是没有这些绝对音名的）：

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如果把它们都平移挪到大字组里（此时除了♭C，其余音弦长应该在1-0.5之间），按照高低顺序可以排列如下：
♭C-C -♭D-♯C -D-E-F- ♭G-♯F- G-♭A-A-♭B-B。

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部分学过乐理的人可能会讲，♯C-♭D以及♯F-♭G不是等音么，在钢琴上都是一个键子。对，它们是等音，但是是有条件的。在十二平均律（钢琴律也不是完全的十二平均律）里是等音，但是在五度相生律里不是等音。比如此处，按照五度相生律计算下来的♯C弦长为0.936（C为1），♭D的弦长为0.949（C为1），显然这有一个音差。事实上，仔细计算之后可以发现，五度相生律得到的半音之间的距离并不相等（大半音124音分，小半音90音分）。最大的距离减去最小的距离将会是一个很大的音差（24音分，相当于五分之一个半音多），这个音差在古代中国也出现了。

9 @* `/ |+ @! `" O0 v4 I十二律吕和三分损益法
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) Z% h/ T( Q" `; I+ r! l# P& F; \% n. g在古代中国，人们很早就通过类似于五度相生律的办法得到了一个八度里的十二个音，这十二个音被称作为“十二律吕”。这个律制和五度相生律本质上是一致的，但是实际操作的时候有些差别。因为三分损益法不仅仅用到了纯五度，还用到了第三泛音，即第二泛音与第三泛音之间的纯四度音程也得到了应用。三分损益法，顾名思义，包括了“三分损一”和“三分益一”两种生律方式。三分损一即下生（古代的称呼），音比原音高纯五度，三分益一即上生，比原音低纯四度。
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但是一开始记载三分损益法的《管子•地员篇》中只讲了五声音阶的计算：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分以益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分而复于其所，以是生羽，有三分去其乘，适足，以是成角。”即黄钟音为宫，弦长81；宫上生降低纯四度（弦长增加1/3）为徵，弦长108；徵下生升高纯五度（弦长减少1/3）为商，弦长为72；商上生降低纯四度（弦长增加1/3）为羽，弦长为96；羽下生升高纯五度（弦长减少1/3）为角，弦长为64。按照弦长顺序排列如下为：徵-羽-宫-商-角。这刚好是五声调式中徵调式的基本形态。

十二律吕的计算和此类似，如下黄钟损（弦长减少1/3）得林钟、林钟益（弦长增加1/3）得太簇、太簇损得南吕、南吕益得姑洗、姑洗损得应钟、应钟益得蕤宾、蕤宾益得大吕、大吕损得夷则、夷则益得夹钟、夹钟损得无射、无射益得仲吕、仲吕损得清黄钟（黄钟的高八度音，或者仲吕益得黄钟）。按照音高低排列（下行的数据表示到黄钟的音分数值）如下：

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正因为三分损益法的这个循环，所以发展出来了一个八度里的十二个律，这也就是为什么中国和欧洲的主要音律都是十二律的缘故。但是实际上，用三分损益法得到的清黄钟并不是清黄钟，假设黄钟弦长是81，经过损益之后，得到的清黄钟实际上只有39.95，距离黄钟的高八度的清黄钟的弦长40.5存在一个小小的音差。这就是古代著名的“仲吕上生不及黄钟”的问题，后来人们为了缩小这个音差，中国和欧洲都提出了各种折中的办法。

, F1 d# w7 T# E) u毕得格拉斯学派也发现了这个音差，因此这个音差现代乐理学上又称作为“毕氏音差”；又由于发现这个音差的年代早于后来的纯律音差，又称作“古代音差”。

为什么还会出现别的音律？
五度相生律以及三分损益率生出来的各率之间的距离并不一致，比如在我国传统的雅乐宫调式（宫-商-角-变徵-徵-羽-变宫，相当于简谱1-2-3-♯4-5-6-7）中，如果拿分别拿黄钟和大吕为宫音，（甚至十二个律轮流做宫音，古代称作“旋相为宫”，现代乐理称作转调），那么所用到的律和每个音距离宫音的音分值为：
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从上表我们可以发现，两个调中变宫音到宫音的距离就不相等了，差了24音分（刚好是一个古代音差），这是很多人都能感受到的音差。这个音差严重影响了音乐效果，但是在转调并不频繁的古代，并不能成为很大的限制。

但是，在西洋乐快速发展的年代中，多声部乐出现了。五度相生律尽管很适合旋律的演奏，但是在和声效果上并不是很好。这就推动了纯律的发展。但是纯律也依旧存在着转调的问题。

随着键盘乐器的兴盛，转调成了一个严重的技术难题，才真正宣告了五度相生律的衰落。尽管五度相生律在键盘乐器上衰落了，但在弦乐特别是弦乐独奏中依旧大放光彩。西洋乐器中的小提琴中提琴等乐器定弦为纯五度纯五度纯五度，民族乐器中大阮中阮柳琴等的定弦为纯五度纯四度纯五度，依旧是偏向于五度相生律和三分损益率的。

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究竟纯律是如何来适应多声部和声的？请听下回分解。